Un elipsoide "de revolución" es aquel en que una de dichas secciones ortogonales degenera en una circunferencia, siendo las otras dos iguales entre sí.
De lo contrario, se habla de un elipsoide "de tres ejes".
Se ha considerado para todos los ejercicios un elipsoide de tres ejes representado en sistema diédrico, con los ejes principales perpendiculares a los planos de proyección. De esta forma, las proyecciones del elipsoide serán dos de las elipses principales, siendo trivial la definición de la tercera.
La sección del elipsoide por un plano paralelo a las secciones principales será homotética de la sección principal correspondiente.
- Punto en elipsoide
- Intersección de elipsoide con plano vertical
- Intersección de elipsoide con recta
- Intersección de elipsoide con plano genérico (construcción por cambio de plano)v
- Elipsoide: sombras propia y arrojada (construcción por cambio de plano)
- Elipsoide: sombras propia y arrojada (construcción directa)
- Elipsoide: sombra autoarrojada (construcción por cambio de plano)
- Elipsoide: sombra autoarrojada (construcción directa)
06.1. Punto en elipsoide
En este primer ejercicio se busca, dada una de sus proyecciones, definir un punto del elipsoide. Para ello se dan dos métodos:
- Dada la proyección vertical, seccionar por su cota por un plano horizontal. La elipse sección en proyección horizontal será homotética del contorno del elipsoide en proyección horizontal. Sobre esta elipse se encontrará la proyección horizontal del punto (dos soluciones). El método es análogo para pasar de proyección horizontal a vertical.
- Dada la proyección horizontal, dibujar por ella una elipse homotética al contorno del elipsoide. Trazar rectas perpendiculares a la línea de tierra por el eje mayor del elipsoide. Por la intersección de estas rectas con el contorno en proyección vertical pasará un plano horizontal (dos soluciones) en el que estará contenida la proyección horizontal del punto. El método es análogo para pasar de proyección vertical a horizontal.
Puntos de control:
- P" Proyección vertical de un punto
- Q' Proyección horizontal de otro punto
- ex, ey, ez semiejes del elipsoide
06.2. Intersección de elipsoide con plano vertical
Dado un plano vertical definido por su traza horizontal, la intersección en planta con un elipsoide dado será el segmento dado por los puntos de intersección de la traza con la elipse contorno en proyección horizontal.
La intersección en alzado será una elipse definida por sus ejes:
- el eje horizontal, obtenido de llevar los puntos de intersección en planta sobre el plano horizontal que pasa por el centro de la elipse.
- El eje vertical, cuyos extremos son las dos soluciones (ver ejercicio anterior) de hallar la proyección vertical del punto medio del segmento intersección en planta. Para hallar esto se ha seccionado el elipsoide por un plano frontal que pase por dicho punto (ver ejercicio 02.1.)
Por una construcción análoga se puede hallar la intersección del elipsoide con un plano frontal.
Puntos de control:
- A', B' puntos de la traza horizontal del plano
- ex, ey, ez semiejes del elipsoide
06.3. Intersección de elipsoide con recta
Este problema se puede considerar un corolario del 02.2. Dada una recta, para hallar sus puntos de corte con el elipsoide basta con hallar la intersección de este con un plano vertical que contenga la recta. La intersección de la elipse solución en alzado con la proyección vertical de la recta dará los puntos buscados.
El problema se puede resolver análogamente empleando un plano frontal.
Puntos de control:
- P'P", Q'Q" puntos de la recta dada
- ex, ey, ez semiejes del elipsoide
06.4. Intersección de elipsoide con plano genérico (construcción por cambio de plano)
Una vez vista la intersección de un elipsoide con un plano proyectante, en este ejercicio se procede a hallar la intersección con un plano cualquiera definido por tres puntos.
La mejor forma de resolver este ejercicio es mediante un cambio de plano de proyección.
En primer lugar se debe realizar un cambio de plano de proyección tal que en él el plano resulte proyectante. Para ello, se hallará la recta horizontal de plano y se efectuará una proyección paralela a su traza horizontal. Según este plano de proyección, la intersección de plano y elipsoide en alzado será trivial como se ve, en planta, en 02.2.; sin embargo, al trasladar dicha proyección a planta, análogamente a como se muestra en aquel ejercicio, el eje que se traslade sobre el contorno aparente no quedará perpendicular al otro; por lo tanto, no resultarán los ejes de la elipse intersección en proyección sino una pareja de diámetros conjugados de ella.
A la hora de hallar dicha elipse en alzado, bastará con trasladar los extremos de dichos diámetros a la proyección vertical para obtener una nueva pareja de diámetros conjugados por los que quedará determinada.
Puntos de control:
- P'P", Q'Q", R'R" puntos que definen el plano
- ex, ey, ez semiejes del elipsoide
06.5. Elipsoide: sombras propia y arrojada (construcción por cambio de plano)
Procederemos ahora a hallar las sombras propia y arrojada del elipsoide. Se hará por dos métodos: por cambio de plano y por construcción directa. Se expone en primer lugar, por ser más intuitivo, el método por cambio de plano.
En este método se efectuará en primer lugar un cambio de plano paralelo a la dirección de la luz en proyección horizontal. En esta proyección, la separatriz de luz y sombra será un segmento de recta que una los puntos de tangencia a la elipse contorno de dos rectas paralelas a la dirección de la luz.
Procediendo como en 01.4. se obtendrá la proyección de la elipse separatriz en las vistas originales, que estará contenida siempre en un plano que pase por el centro del elipsoide.
Por otra parte, para obtener la sombra arrojada bastará con hallar la proyección de los diámetros conjugados de la separatriz sobre el plano dado; dichos ejes proyectados serán diámteros conjugados de la elipse de sombra arrojada.
Puntos de control:
- a acimut de la dirección de la luz
- h inclinación de la dirección de la luz
- P cota del plano horizontal
- ex, ey, ez semiejes del elipsoide
06.6. Elipsoide: sombras propia y arrojada (construcción directa)
Se busca hallar ahora la solución al problema anterior mediante un método que no suponga un cambio de plano de proyección. Para ello, lo que se hará es considerar la elipse separatriz de luz y sombra definida, igualmente en proyección horizontal que en vertical, por dos diámetros conjugados, de los cuales uno será la unión de los puntos de tangencia a la elipse contorno en la dirección de la luz, mientras que el otro, del que se desconoce a priori la longitud, será paralelo a dicha dirección.
Repitiendo esto en ambas proyecciones, y considerando que los puntos de tangencia de la elipse separatriz con el contorno en una de las proyecciones pertenecen a la intersección de la otra proyección de esta elipse con la de los ejes, podemos obtener en cada proyección un punto adicional de ella, con lo que por afinidad podremos determinar la longitud que desconocíamos del diámetro conjugado.
De igual forma que en el ejercicio 02.6., la sombra arrojada del elipsoide se obtiene por proyección sobre el plano dado de la separatriz.
Puntos de control:
- a acimut de la dirección de la luz
- h inclinación de la dirección de la luz
- P cota del plano horizontal
- ex, ey, ez semiejes del elipsoide
06.7. Elipsoide: sombra autoarrojada (construcción por cambio de plano)
En último lugar se procederá a la determinación de la sombra autoarrojada de un elipsoide (necesariamente, medio elipsoide) sobre su cara interior. De igual forma que en los casos anteriores, se procederá a la resolución del problema por dos métodos diferentes.
Conviene saber en primer lugar que, dado el cilindro elíptico paralelo a la dirección de la luz de directriz el contorno de medio elipsoide, este se intersecará con el elipsoide por dos elipses, una de las cuales será el propio contorno; siendo la otra la separatriz que buscamos.
Conociendo esto, al realizar un cambio de plano de proyección análogo al realizado en 02.6., será trivial hallar esta intersección, ya que aparecerá como un segmento. Siguiendo el procedimiento de 02.4. se podrá obtener a partir de ella la elipse separatriz de la sombra autoarrojada en las proyecciones iniciales.
Puntos de control:
- a acimut de la dirección de la luz
- h inclinación de la dirección de la luz
- ex, ey, ez semiejes del elipsoide
06.8. Elipsoide: sombra autoarrojada (construcción directa)
Para obtener la separatriz de la sombra autoarrojada sin necesidad de recurrir a un plano de control se ha de tener en cuenta que esta resulta de la intersección de cilindro y elipsoide indicada en 02.8. Por este motivo, uno de los diámetros conjugados de dicha intersección en planta será el definido por las tangentes al contorno del elipsoide en la dirección de la luz, mientras que el otro será paralelo a esta. Para hallar la longitud de este diámetro conviene tener en cuenta que a partir de su dirección se puede hallar en plano vertical una elipse perteneciente al elipsoide; la sombra del punto del elipsoide perteneciente a ella sobre dicha elipse, hallada como intersección de ella con una paralela a la proyección vertical del rayo de luz, dará un punto de la elipse separatriz que, trasladado a la planta, determinará las medidas del segundo eje conjugado. Conocidos estos, es trivial hallar la elipse separatriz en planta y, trasladándolos a la proyección vertical, en alzado.
Puntos de control:
- a acimut de la dirección de la luz
- h inclinación de la dirección de la luz
- ex, ey, ez semiejes del elipsoide